Lösen von linearen Gleichungssystemen 2 x 2

Systeme mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten


I. Ermittlung der Lösungenvon 2 x 2 Gl-Systemen:


Gib die Koeffizienten des Gleichungssystems ein:

(Benutze bei der Eingabe von Dezimalzahlen einen Punkt anstelle des Kommas, wie z.B. 0.5)


x + y =

x + y =


Wie genau sollen die Lösungen bestimmt werden (Stellenzahl hinter dem Komma):





x =

y =

Die Lösungsangabe " -------- " bedeutet, dass das Gleichungssystem nicht bzw. nicht eindeutig lösbar ist,
oder aber, dass die Koeffizienteneingabe nicht vollständig ist!!




II. Verfahren zur Lösungsbestimmung:

Bei allen 3 Lösungsverfahren wird versucht, aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten zunächst einmal 1 Gleichung mit nur noch einer Unbekannten zu erzeugen. Dabei darf jede Gleichung mit einer beliebigen Zahl, mit Ausnahme der Zahl "0", multipliziert werden und es dürfen Gleichungen addiert bzw. subtrahiert werden. Dann wird durch Umstellen der verbliebenen Gleichung die 1. Unbekannte bestimmt. Die 2-te Lösung berechnet man dann mit einer der vorherigen Gleichungen durch Einsetzen der zuvor ermittelten Unbekannten.

a.) Das Additionsverfahren

Bei dem Additionsverfahren versucht man durch Multiplikation einer oder gegebenfalls beider Gleichungen mit einer Zahl, dass in beiden Gleichungen die Koeffizienten der x oder y-Summanden identisch, die Vorzeichen jedoch verschieden sind, sodass durch Addition der beiden Gleichungen eine Variable eliminiert wird.

Multipliziert man hier die 2. Gleichung mit der Zahl 2, so ergibt sich daraus:

Addiert man nun die beiden Gleichungen "spaltenweise", so erhält man nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten, die sich leicht nach y umstellen lässt.

Setzt man nun die Lösung y = 0,5 in die oberste, 1. Gleichung ein, so folgt daraus:


b.) Das Einsetzverfahren

Bei dem Einsetzverfahren stellt man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen oder einem Vielfachen davon um, und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Auf diese Weise erhält man auch bei diesem Verfahren eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten, die dann leicht bestimmt werden kann.

Addiert man in der 2. Gleichung + x und multipliziert diese dann noch mit 2, so ergibt sich daraus:

Setzt man nun die Gleichung ( ** ) in die Gleichung ( * ) ein, so ergibt sich:
Setzt man nun die Lösung x = 3 in die Gleichung ( * ) ein, so folgt daraus:

c.) Das Gleichsetzverfahren

Bei dem Gleichsetzverfahren werden beide Gleichungen nach ein und derselben Variablen umgestellt (bzw. nach ein und demselben Vielfachen einer Variablen) und erhält durch Gleichsetzen der beiden umgestellten Gleichungen eine neue Gleichung mit nur noch einer Variablen. Auch hier hat man eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erzeugt.

Subtrahiert man nun in der 1. Gleichung -2 x und addiert zur 2. Gleichung + x, so erhält man:
Multiplizert man nun die 2. Gleichung mit 2, so folgt daraus:
Setzt man nun die Gleichung ( ** ) in die Gleichung ( * ) gleich, so ergibt sich:
Setzt man nun die Lösung x = 3 in die Gleichung ( * ) ein, so folgt daraus:



d.) Im Unterricht von der HöTU1 erstelltes Plakat zum lösen von 2x2 Gleichungssystemen mit Hilfe des Additionsverfahrens:




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